Родился 21 марта 1966 года в Ростове-на-Дону.
В 1983 году окончил СОШ №79 Октябрьского района города Ростова-на-Дону.
В 1984 году с отличием окончил Техническое училище №2, получив квалификацию «слесарь-ремонтник».
В 1988 году окончил Новочеркасское высшее военное командное краснознаменное училище связи имени В.Д.Соколовского.
Проходил службу в Забайкальском и Киевском военных округах, был уволен по причине сокращения штатов. Кадровый офицер запаса.
Прошел трудовой путь от ученика столяра до ведущего специалиста Законодательного собрания Ростовской области, советника государственной службы Ростовской области. Бессонов является корреспондент газеты «Правда», вторым секретарём Ростовского обкома КПРФ и секретарём по организационно-кадровой и партийной работе Ростовского обкома КПРФ. Кандидат в члены ЦК партии.
В 2003 году стал помощником депутата Государственной Думы. В 2003 и 2007 годах в составе списка КПРФ пытался стать депутатом Государственной Думы, но безуспешно.
В 2008 году избран депутатом Законодательного собрания Ростовской области по единому избирательному округу от КПРФ, после чего возглавил фракцию партии в региональном парламенте.
4 декабря 2011 года избран депутатом Государственной Думы по списку КПРФ (региональная группа №56 — Ростовская область). Вошёл в состав комитета ГД по обороне. Также стал членом комиссии ГД по рассмотрению расходов федерального бюджета, направленных на обеспечение национальной обороны, национальной безопасности и правоохранительной деятельности.
5 июля 2012 года Государственная Дума сняла с Бессонова депутатскую неприкосновенность в части возбуждения уголовного дела. «За» снятие проголосовали 281 депутат (234 «единоросса» и 47 «ЛДПРовцев»), «Против» 158 (92 коммуниста, 64 «справедливороссов» и 2 «ЛДПРовца»).
Поводом для этого послужило запрос СКР в Думу для возбуждения уголовного дела против Бессонова. По версии следствия, 2 декабря 2011 года в Ростове-на-Дону он организовал не согласованный с властями митинг, численность которого была более 100 человек, перед зданием резиденции полпреда президента в ЮФО. По утверждению КПРФ, это был не митинг, а встреча с избирателем, которая не требует согласования с властями. На требование полиции прекратить мероприятие Бессонов и другие организаторы акции ответили отказом. По данным следствия, после попыток сотрудников полиции самостоятельно отключить звукоусиливающую аппаратуру участники акции, включая самого Бессонова, устроили с ними драку. Однако по утверждению руководителя юридической службы КПРФ Вадима Соловьёва, никакого насилия не было, а депутаты законодательного собрания Ростовской области пытались объявить сотрудникам полиции о неправомерности их действий.
8 ноября 2012 года Верховный суд признал законным лишение депутатской неприкосновенности. Бессонов принял решение обжаловать постановление суда.